Mappe(1996 - 2002)

Nel 1995 i miei interessi si distaccarono dai metodi stocastici e si orientarono verso le teorie della colorazione di mappe. Fra le immagini stocastiche erano state preferite quelle in cui c’era una simulazione di prospettiva. La presenza di vertici con 3 spigoli adiacenti (di grado 3) erano la causa dell’effetto prospettiva. Per aumentare l’effetto prospettiva disegnai mappe stocastiche con tutti i vertici di grado 3. Ad un certo punto mi resi conto che una mappa con tutti i vertici di grado 3, le cui regioni non possono essere colorate con meno di n colori e le cui regioni non sono più di n, è una mappa minimale. Il numero n non può essere superiore a 4 se la mappa è planare, non superiore a 7 se la mappa è toroidale, non superiore a 6m se la mappa è di Heawood (m è il numero di regioni non connesse di una mappa di Heawood), non superiore a 6m+1 se la mappa è una mappa di Heawood inscritta su toro. Ho disegnato mappe toroidali a 5, 6, 7 colori cercando di scoprire le colorazioni esteticamente migliori. Un pavimento di quattro mattonelle fatto con una mappa minimale toroidale ettacromatica fu esposto presso la Galleria Comunale d’Arte Moderna e Contemporanea di Roma (Bonasegale 1998). Attualmente studio le relazioni estetiche che intercorrono fra la migliore colorazione e la forma minimale. Precedenti esperimenti sull’estetica della colorazione di mappe (Lombardo 1999) avevano provato quanto segue. Le mappe minimali sono preferite a quelle non minimali. Il minimo numero di tinte diverse è preferito a molte tinte diverse. Insiemi di colori ottenuti aggiungendo gradi di luminosità a una singola tinta, ottenendo così colori di diverso tono, ma della stessa tinta, sono preferiti a insiemi di colori con diverse tinte. Un insieme di toni di colore in cui il colore più chiaro è vicino al bianco e il colore più scuro è vicino al nero è preferito a insiemi di toni di colore in cui mancano colori chiarissimi e scurissimi. Una scala di toni di colore formata aggiungendo alla tinta scura dosi identiche di progressiva luminosità è preferita a scale di toni di colore con gradi arbitrari di luminosità. Se sono necessari più di 7 colori è preferibile usare più di una tinta. Se la mappa ha una struttura stocastica la permutazione dei colori non è esteticamente rilevante. Allo scopo di chiarire se la permutazione dei colori è esteticamente rilevante in una mappa non stocastica, progettai un esperimento (Lombardo 2002). Disegnai una mappa cilindrica di Heawood a 12 colori con tutte le regioni a striscie dello stesso spessore. La mappa ha 12 nazioni, ciascuna nazione ha due regioni non connesse, perciò ambedue le regioni debbono essere colorate con lo stesso colore. Ogni nazione ha una frontiera in comune con tutte le altre 11 nazioni, perciò la mappa non può essere colorata con meno di 12 colori. I 12 colori sono stati scelti come segue: 6 colori aggiungendo identiche dosi di luminosità a un violetto scurissimo e 6 colori aggiungendo identiche dosi di luminosità a un magenta scurissimo. I colori più scuri erano scuri quasi quanto il nero, i colori più chiari erano chiari quasi quanto il bianco. Furono dipinte tre tele dello stesso formato (cm. 100 X 120) e di struttura identica, ma i colori furono disposti in 3 diverse permutazioni scelte a caso. I tre stimoli furono esposti presso la galleria d’arte Equilibri Precari a Roma e, in una disposizione diversa, all’Auditorium di Santa Cecilia a Roma. Un campione di 80 persone scelte fra i visitatori doveva ordinare i 3 stimoli secondo 2 parametri: una supposta bellezza oggettiva e la propria preferenza personale. Fu ottenuto un risultato molto significativo sia nella valutazione di bellezza che nella preferenza. Ambedue i parametri concordavano nel valutare più bello e preferito il dipinto in cui i colori più scuri si trovavano nella parte più esterna e verso il basso. Ma non è chiaro se le preferenze erano dovute in parte a un "effetto prestigio" (Kritler, Kritler 1972, pag. 261-2) dovuto alla diversa importanza estetica delle pareti della galleria.

12 Mappe di Heawood a 12 colori, 2003

Un nuovo esperimento è stato progettato usando una mappa planare simmetrica di Heawood a 12 colori, che è stata dipinta 12 volte con i colori permutati. Le tinte usate per creare i 12 colori sono due: un verde smeraldo scurissimo e un magenta scurissimo, ciascuna tinta è stata divisa in 6 toni aggiungendo progressive dosi di bianco in modo da formare due scale a sei gradini equidistanti che raggiungono toni chiarissimi. Le 12 permutazioni comprendono 8 quadri in cui i colori sono stati permutati a sorte e 4 quadri in cui i colori sono stati permutati con criteri logici. Le mappe con permutazioni cromatiche distribuite in modo logico comprendono serie di regioni confinanti che formano delle scale cromatiche. L’effetto è quello di una maggiore simmetria apparente e di una apparente semplificazione di tutta la struttura. Per meglio comprendere queste simmetrie e il loro impatto visivo bisogna descrivere la struttura matematica delle mappe di Heawood. La più semplice mappa di Heawood ha 12 nazioni, ciascuna nazione ha due regioni non connesse, perciò le due regioni che appartengono alla stessa nazione, pur essendo non connesse, debbono essere colorate con lo stesso colore. Poichè ogni nazione ha una frontiera in comune con tutte le altre 11 nazioni, la mappa non può essere colorata con meno di 12 colori, altrimenti qualche frontiera verrebbe annullata. Ma le mappe di Heawood possono essere estremamente complesse, potendo avere un numero di paesi, e dunque di colori, superiore a 12, ciascuno dei quali può avere un numero di regioni superiore a due. In una mostra presso la galleria di Aldo Marchetti a Roma ho esposto 6 mappe di Heawood a 24 colori, con 24 nazioni, ciascuna delle quali era composta di 4 regioni non connesse. In generale, se chiamiamo m il numero di regioni non connesse di cui può essere composta ciascuna nazione della mappa, e se chiamiamo n il numero di nazioni di cui è composta la mappa, allora possiamo calcolare che in una mappa planare le nazioni possono raggiungere il numero massimo di 6m, mentre in una mappa toroidale le nazioni possono raggiungere il numero di 6m+1. Pertanto il numero cromatico di una mappa di Heawood le cui le regioni non connesse sono 2 è 12. Se le regioni non connesse sono 3 il numero cromatico è 18. Nessuno, credo ha mai disegnato una mappa di Heawood con più di 4 regioni non connesse, ma ovviamente la complessità in questa direzione può essere aumentata all’infinito. Ad esempio, se le regioni non connesse fossero 100, per colorare tale mappa potrebbero essere necessari 600 colori diversi. Ma qual è l’interesse estetico delle mappe di Heawood? Gli artisti da secoli si sono sforzati di cercare forme che presentassero contemporaneamente un elevato grado di complessità e un elevato grado di equilibrio formale e cromatico. Finora gli approcci degli artisti sono stati intuitivi, ma i risultati di approcci intuitivi sono scarsi. Nessuno può creare per caso o intuitivamente una mappa di Heawood minimale. Tuttavia alcune branche della matematica, come la topologia e la teoria dei grafi, pur non occupandosi direttamente di estetica, hanno raggiunto delle conoscenze tecniche che possono essere utilissime al ricercatore estetico. Se un artista si ponesse il problema di creare delle forme da colorare in modo che fosse rispettato sempre un certo equilibrio complessivo, ma che il tutto non risultasse banale, o ridondante, o ingenuo, allora le mappe di Heawood, per definizione, farebbero al caso suo. Esse creano insiemi di colori sempre diversi, ma sempre equilibrati, dal momento che tutti i colori, pur variando in modo molto complesso, confinano con tutti gli altri. La bellezza non sta nel fatto che si tratta di un rompicapo difficilissimo, ma nel fatto che l’estrema complessità di queste strutture è funzionale a valori estetici irraggiungibili in modo ingenuo. A volte alcuni artisti poco abituati alla logica scientifica mi contestano il fatto che, una volta visti questi quadri, chiunque potrebbe copiarli, o imitarli. A questa ingenua obiezione rispondo che questi quadri non si possono imitare, si possono solo copiare, o riprodurre. Infatti, chiunque volesse colorare una mappa di Heawood senza rispettarne le leggi matematiche, o variandone i colori senza rispettarne le regole estetiche, la renderebbe sicuramente più brutta. Dal momento che in queste mappe ogni decisione formale o cromatica è stata sottoposta a prova sperimentale e risponde a leggi di ottimizzazione molto complesse, esse si possono solo riprodurre così come sono, oppure peggiorare.